Stillinger-Weberポテンシャル

力の計算

原子\(i\)に働く力\(\boldsymbol{F}_i\)は

$$ \boldsymbol{F}_i = -\nabla_i V = – \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{r}_i }V $$

で与えられる。2体項から生じる力は、Lennard-JonesポテンシャルのMD計算で説明したように、

$$ \boldsymbol{F}_i = – \varepsilon \sum_{j\neq i} \frac{\partial f_2(r_{ij})}{\partial r_{ij}}\frac{ \boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_j }{r_{ij}}  $$

と表される。

3体項から生じる力は少々複雑で、結果だけ示すと

$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{F}_i & = – \varepsilon \sum_{j \neq i} \sum_{k > j} & \left ( \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial r_{ij}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j}{r_{ij}} + \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial r_{ik}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_k}{r_{ik}} + \right . \\
& & \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial \cos\theta_{jik}}\frac{r_{ij} – r_{ik}\cos\theta_{jik}}{r_{ij}r_{ik}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j}{r_{ij}} \\
& & \left . + \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial \cos\theta_{jik}}\frac{r_{ik} – r_{ij}\cos\theta_{jik}}{r_{ij}r_{ik}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_k}{r_{ik}} \right ) \\
& – \varepsilon \sum_{j \neq i}\sum_{k \neq i} & \left ( \frac{\partial h(r_{ji},r_{jk}, \theta_{ijk})}{\partial r_{ji}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j}{r_{ij}}\right . \\
& & + \frac{\partial h(r_{ji},r_{jk}, \theta_{ijk})}{\partial \cos\theta_{ijk}}\frac{r_{ji} – r_{jk}\cos\theta_{ijk}}{r_{ji}r_{jk}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j}{r_{ij}} \\
& & \left . – \frac{\partial h(r_{ji},r_{jk}, \theta_{ijk})}{\partial \cos\theta_{ijk}}\frac{r_{ik}}{r_{ji}r_{jk}}\frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_k}{r_{ik}} \right )
\end{eqnarray} $$

となる。ごちゃごちゃしてるので、下記のように整理しておこう。

$$\begin{eqnarray}
\boldsymbol{F}_i & = & – \varepsilon \sum_{j \neq i} \sum_{k > j} \left ( A_{jik} \frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j}{r_{ij}} + B_{jik} \frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_k}{r_{ik}} \right ) \\
& & – \varepsilon \sum_{j \neq i}\sum_{k \neq i} \left ( C_{ijk} \frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_j}{r_{ij}} + D_{ijk} \frac{\boldsymbol{r}_i – \boldsymbol{r}_k}{r_{ik}}\right ) \\
\end{eqnarray} $$

ここで

$$\begin{eqnarray}
\displaystyle A_{jik} & = &\frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial r_{ij}} + \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial \cos\theta_{jik}}\frac{r_{ij} – r_{ik}\cos\theta_{jik}}{r_{ij}r_{ik}}\\
B_{jik} & = & \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial r_{ik}} + \frac{\partial h(r_{ij},r_{ik}, \theta_{jik})}{\partial \cos\theta_{jik}}\frac{r_{ik} – r_{ij}\cos\theta_{jik}}{r_{ij}r_{ik}}\\
C_{ijk} & = & \frac{\partial h(r_{ji},r_{jk}, \theta_{ijk})}{\partial r_{ji}} + \frac{\partial h(r_{ji},r_{jk}, \theta_{ijk})}{\partial \cos\theta_{ijk}}\frac{r_{ji} – r_{jk}\cos\theta_{ijk}}{r_{ji}r_{jk}}\\
D_{ijk} & = & -\frac{\partial h(r_{ji},r_{jk}, \theta_{ijk})}{\partial \cos\theta_{ijk}}\frac{r_{ik}}{r_{ji}r_{jk}}
\end{eqnarray}$$

である。