調和振動子の運動をVerlet法を用いて再現してみよう。
1.調和振動子
まずは復習を兼ねて1次元の調和振動子の運動方程式を解析的に解いてみよう。
調和振動子の位置を\(x\)と書くと、調和振動子のテンシャルエネルギーは
$$ \phi(x) = \frac{1}{2}C x^2 $$
で与えられる。\(C\)は定数である。位置\(x\)において調和振動子に加わる力は
$$ f(x) = -\frac{d}{dx}\phi(x) = -C x$$
となる。したがって調和振動子の運動方程式は
$$ \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -\frac{C}{m} x(t)$$
となる。この微分方程式の一般解は
$$x(t) = A \sin \sqrt{\frac{C}{m}}t+B\cos \sqrt{\frac{C}{m}}t$$
である。例として初期条件\(x(0)=1\)、\(\dot x (0) = 0\)のときの特解を求めると
$$x(t) = \sin \sqrt{\frac{C}{m}}t$$
すなわち、角周波数\(\omega = \sqrt{C/m}\)、周期\(T=2\pi \sqrt{m/C}\)の単振動(正弦波)となる。