Stillinger-Weberポテンシャルのもう一つの表し方

３体項の部分を少し変えて

$$ V = \varepsilon \sum_{i}\sum_{j>i} f_2(r_{ij}) + \varepsilon \sum_i\sum_{j \neq i}\sum_{\stackrel{k>j}{k \neq i}} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) $$

のように書くことができる。以下、その証明。
まず\(j\)についての和を、\( j>i \) と\(j \lt i\)の和に分ける。

$$ \begin{eqnarray}
\sum_i\sum_{j \neq i}\sum_{\substack{k>j \\ k \neq i}} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) & = & \sum_i\sum_{j > i}\sum_{k>j>i} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) \\
&& + \sum_i\sum_{j < i}\sum_{\substack{k>j \\ k \neq i}} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik})
\end{eqnarray}
$$

２項目の\(i\)と\(j\)を入れ替えると

$$ \begin{eqnarray}
& = & \sum_i\sum_{j > i}\sum_{k > j > i} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) + \sum_i\sum_{j > i}\sum_{\substack{k>i \\ k \neq j}} h(r_{ji}, r_{jk}, \theta_{ijk}) \\
& = & \sum_i\sum_{j > i} \left \{\sum_{k>j>i} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) + \sum_{\substack{k>i \\ k \neq j}} h(r_{ji}, r_{jk}, \theta_{ijk}) \right\}
\end{eqnarray}
$$

中括弧内の第２項目の和を\(k>j\)と\(k < j\)に分けると、\( j > i\)に注意して

$$ \begin{eqnarray}
& = & \sum_i\sum_{j > i} \left \{\sum_{k > j > i } h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) + \sum_{k > j > i} h(r_{ji}, r_{jk}, \theta_{ijk}) + \sum_{\substack{k < j \\ k > i}} h(r_{ji}, r_{jk}, \theta_{ijk}) \right\}
\end{eqnarray}
$$

第３項目の和で\(k\)と\(j\)を入れ替えると、
$$ \begin{eqnarray}
& = & \sum_i\sum_{j > i} \left \{\sum_{k > j > i} h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) + \sum_{k > j > i} h(r_{ji}, r_{jk}, \theta_{ijk}) + \sum_{\stackrel{k > j}{ j > i}} h(r_{ki}, r_{kj}, \theta_{ikj}) \right\} \\
& = & \sum_i\sum_{j > i}\sum_{k > j > i} \left \{ h(r_{ij}, r_{ik}, \theta_{jik}) + h(r_{ji}, r_{jk}, \theta_{ijk}) + h(r_{ki}, r_{kj}, \theta_{ikj}) \right \}\\
&=&\sum_i\sum_{j > i}\sum_{k > j > i} f_3(\boldsymbol{r}_i,\boldsymbol{r}_j,\boldsymbol{r}_k)
\end{eqnarray}
$$

となり、元の３体項に帰着する。