3. Verlet法の式の導出

Verlet法の基本式

$$ \boldsymbol{r}(t+\Delta t) =2   \boldsymbol{r}(t)  – \boldsymbol{r}(t-\Delta t)+\Delta t^2   \frac{\boldsymbol{f}(t)}{m}$$

は、以下のように導出される。

まず、時刻\(t+\Delta t\)における粒子の位置ベクトルを\(\boldsymbol{r}(t+\Delta t)\)を、\(\Delta t = 0\)の周りでTaylor級数展開すると

$$ \boldsymbol{r}(t+\Delta t) =  \boldsymbol{r}(t)  + \Delta t\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt}+   \frac{\Delta t^2}{2!} \frac{d^2\boldsymbol{r}(t)}{dt^2}+   \frac{\Delta t^3}{3!} \frac{d^3\boldsymbol{r}(t)}{dt^3} +  \frac{ \Delta t^4}{4!} \frac{d^4\boldsymbol{r}(t)}{dt^4} + \cdots $$

とかける。ここで、1階導関数に中央差分の式

$$\frac{d\boldsymbol{r}(t)}{dt} = \frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t-\Delta t)}{2\Delta t}-\frac{\Delta^2}{3!}\frac{d^3\boldsymbol{r}(t)}{dt^3}-\frac{\Delta^5}{3!}\frac{d^5\boldsymbol{r}(t)}{dt^5}-\cdots$$

を代入すると

$$ \boldsymbol{r}(t+\Delta t) =  \boldsymbol{r}(t)  + \frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t-\Delta t)}{2}+   \frac{\Delta t^2}{2!} \frac{d^2\boldsymbol{r}(t)}{dt^2} +  \frac{ \Delta t^4}{4!} \frac{d^4\boldsymbol{r}(t)}{dt^4} + \cdots $$

となる。奇数階の導関数の項が消える点に注意しよう。ここにNewtonの運動方程式

$$ m \frac{d^2\boldsymbol{r}(t)}{dt^2} =    \boldsymbol{f}(t) $$

を代入して整理すると、Verlet法の基本式

$$ \boldsymbol{r}(t+\Delta t) =2   \boldsymbol{r}(t)  – \boldsymbol{r}(t-\Delta t)+\Delta t^2   \frac{\boldsymbol{f}(t)}{m} + O(\Delta t^4)$$

が得られる。