Newton方程式の数値解法 (Verlet法)

3. Verlet法の式の導出

Verlet法の基本式

r(t+Δt)=2r(t)r(tΔt)+Δt2f(t)m

は、以下のように導出される。

まず、時刻t+Δtにおける粒子の位置ベクトルをr(t+Δt)を、Δt=0の周りでTaylor級数展開すると

r(t+Δt)=r(t)+Δtdr(t)dt+Δt22!d2r(t)dt2+Δt33!d3r(t)dt3+Δt44!d4r(t)dt4+

とかける。ここで、1階導関数に中央差分の式

dr(t)dt=r(t+Δt)r(tΔt)2ΔtΔ23!d3r(t)dt3Δ53!d5r(t)dt5

を代入すると

r(t+Δt)=r(t)+r(t+Δt)r(tΔt)2+Δt22!d2r(t)dt2+Δt44!d4r(t)dt4+

となる。奇数階の導関数の項が消える点に注意しよう。ここにNewtonの運動方程式

md2r(t)dt2=f(t)

を代入して整理すると、Verlet法の基本式

r(t+Δt)=2r(t)r(tΔt)+Δt2f(t)m+O(Δt4)

が得られる。