3. Verlet法の式の導出

Verlet法の基本式

$$\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)=2\mathit{r}(t)–\mathit{r}(t-\mathrm{\Delta }t)+\mathrm{\Delta }{t}^2\frac{\mathit{f}(t)}{m}$$

は、以下のように導出される。

まず、時刻$t+\mathrm{\Delta }t$における粒子の位置ベクトルを$\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)$を、$\mathrm{\Delta }t=0$の周りでTaylor級数展開すると

$$\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)=\mathit{r}(t)+\mathrm{\Delta }t\frac{d\mathit{r}(t)}{dt}+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2!}\frac{d^2\mathit{r}(t)}{d{t}^2}+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^3}{3!}\frac{d^3\mathit{r}(t)}{d{t}^3}+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^4}{4!}\frac{d^4\mathit{r}(t)}{d{t}^4}+\cdots$$

とかける。ここで、1階導関数に中央差分の式

$$\frac{d\mathit{r}(t)}{dt}=\frac{\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathit{r}(t-\mathrm{\Delta }t)}{2\mathrm{\Delta }t}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{3!}\frac{d^3\mathit{r}(t)}{d{t}^3}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^5}{3!}\frac{d^5\mathit{r}(t)}{d{t}^5}-\cdots$$

を代入すると

$$\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)=\mathit{r}(t)+\frac{\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathit{r}(t-\mathrm{\Delta }t)}{2}+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2!}\frac{d^2\mathit{r}(t)}{d{t}^2}+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^4}{4!}\frac{d^4\mathit{r}(t)}{d{t}^4}+\cdots$$

となる。奇数階の導関数の項が消える点に注意しよう。ここにNewtonの運動方程式

$$m\frac{d^2\mathit{r}(t)}{d{t}^2}=\mathit{f}(t)$$

を代入して整理すると、Verlet法の基本式

$$\mathit{r}(t+\mathrm{\Delta }t)=2\mathit{r}(t)–\mathit{r}(t-\mathrm{\Delta }t)+\mathrm{\Delta }{t}^2\frac{\mathit{f}(t)}{m}+O(\mathrm{\Delta }{t}^4)$$

が得られる。